Упр.14.25 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

У треугольника ABC сторона $$AC$$ равна $$a$$, сторона $$BC$$ равна $$b$$. При каком угле $$C$$ площадь треугольника будет наибольшей?

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними выражается формулой

$$S=\frac12 \cdot AC \cdot BC \cdot \sin \angle C.$$

Так как $$AC=a$$ и $$BC=b$$, то

$$S=\frac{ab}{2}\sin \angle C.$$

Числа $$a$$ и $$b$$ постоянны, значит площадь зависит только от значения $$\sin \angle C$$. Наибольшее значение синуса равно $$1$$, поэтому максимальная площадь будет тогда, когда

$$\sin \angle C=1.$$

Это возможно при

$$\angle C=90^\circ.$$

Ответ: $$\angle C=90^\circ$$.