Упр.10.25 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Даны векторы $$a=(2;-4)$$, $$b=(1;1)$$, $$c=(1;-2)$$, $$d=(-2;-4)$$. Укажите пары коллинеарных векторов. Какие из данных векторов одинаково направлены, а какие — противоположно направлены?

Коллинеарные векторы имеют пропорциональные соответствующие координаты.

Проверим данные векторы:

1. Для $$\vec a(2;\,-4)$$ и $$\vec b(1;\,1)$$:
   $$\frac{2}{1}=2,\qquad \frac{-4}{1}=-4.$$
   Координаты не пропорциональны, значит, эти векторы не коллинеарны.
2. Для $$\vec a(2;\,-4)$$ и $$\vec c(1;\,-2)$$:
   $$\frac{2}{1}=2,\qquad \frac{-4}{-2}=2.$$
   Координаты пропорциональны, значит, векторы коллинеарны. Причём
   $$\vec a=2\vec c,$$
   где $$2>0$$, следовательно, векторы одинаково направлены.
3. Для $$\vec a(2;\,-4)$$ и $$\vec d(-2;\,-4)$$:
   $$\frac{2}{-2}=-1,\qquad \frac{-4}{-4}=1.$$
   Координаты не пропорциональны, значит, эти векторы не коллинеарны.
4. Для $$\vec b(1;\,1)$$ и $$\vec d(-2;\,-4)$$:
   $$\frac{1}{-2}=-0{,}5,\qquad \frac{1}{-4}=-0{,}25.$$
   Координаты не пропорциональны, значит, эти векторы не коллинеарны.

Следовательно, из данных векторов коллинеарны только $$\vec a$$ и $$\vec c$$, и они одинаково направлены. Противоположно направленных пар среди данных векторов нет.

Ответ: $$\vec a$$ и $$\vec c$$ — коллинеарны и одинаково направлены; противоположно направленных пар нет.