Упр.9.24 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Даны три попарно пересекающиеся прямые $$a$$, $$b$$, $$c$$. Как построить отрезок, перпендикулярный прямой $$b$$, с серединой на прямой $$b$$ и концами на прямых $$a$$ и $$c$$ (рис. 212)? Всегда ли задача имеет решение?

Подробный ответ

Пусть $$B=a\cap c$$, $$C=a\cap b$$.

Построим точку $$B’$$, симметричную точке $$B$$ относительно прямой $$b$$:

через точку $$B$$ проведём прямую, перпендикулярную $$b$$;
пусть $$O$$ — точка пересечения этой прямой с $$b$$;
на продолжении прямой отложим точку $$B’$$ так, чтобы $$OB’=OB$$.

Проведём прямую $$CB’$$ и обозначим через $$E$$ точку её пересечения с прямой $$c$$.

Через точку $$E$$ проведём прямую, перпендикулярную $$b$$, и обозначим через $$F$$ её пересечение с прямой $$a$$.

Так как $$B’$$ — отражение точки $$B$$ относительно прямой $$b$$, то прямая $$b$$ является осью симметрии угла $$CBC’$$, а значит, она является биссектрисой и перпендикулярным серединным к отрезку $$EF$$. Следовательно, $$EF\perp b$$ и точка пересечения $$EF$$ с $$b$$ делит его пополам.

Значит, отрезок $$EF$$ — искомый.

Задача не всегда имеет решение: построение возможно не для любых трёх попарно пересекающихся прямых, а только в тех случаях, когда после указанного построения точки $$E$$ и $$F$$ действительно получаются на прямых $$c$$ и $$a$$ соответственно.