Упр.14.24 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 24. Чему равны катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 73 см, а площадь равна 1320 см2? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 pogorelov7-9 14-24 76

Обозначим катеты прямоугольного треугольника через $$x$$ и $$y$$, а гипотенузу — через $$73$$ см.

По формуле площади прямоугольного треугольника:

$$S=\frac{1}{2}xy=1320$$

Отсюда

$$xy=2640.$$

По теореме Пифагора:

$$x^2+y^2=73^2=5329.$$

Возведём сумму катетов в квадрат:

$$\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2=5329+2\cdot2640=10609,$$

значит

$$x+y=\sqrt{10609}=103.$$

Теперь найдём катеты как корни уравнения

$$t^2-103t+2640=0.$$

Дискриминант:

$$D=103^2-4\cdot2640=10609-10560=49.$$

Тогда

$$t=\frac{103\pm7}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=55,\quad t_2=48.$$

Следовательно, катеты треугольника равны $$55$$ см и $$48$$ см.

Ответ

$$55\text{ см и }48\text{ см}$$