Упр.13.24 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 24. Докажите, что сторона правильного 12-угольника вычисляется по формуле а12 = R корень (2 — корень 3), где R — радиус описанной окружности.

Подробный ответ

Найдём центральный угол правильного двенадцатиугольника:

$$\beta=\frac{360^\circ}{12}=30^\circ.$$

Пусть $$A_1A_2A_3\dots A_{12}$$ — правильный 12-угольник, вписанный в окружность радиуса $$R$$ с центром в точке $$O$$. Тогда

$$OA_1=OA_2=R,\qquad \angle A_1OA_2=30^\circ.$$

Сторона многоугольника равна $$a_{12}=A_1A_2$$. Применим теорему косинусов к треугольнику $$A_1OA_2$$:

$$A_1A_2^2=OA_1^2+OA_2^2-2\cdot OA_1\cdot OA_2\cdot \cos \angle A_1OA_2.$$

Подставим значения:

$$a_{12}^2=R^2+R^2-2R^2\cos 30^\circ.$$

Так как $$\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},$$ получаем

$$a_{12}^2=2R^2-2R^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2R^2-R^2\sqrt{3}=R^2(2-\sqrt{3}).$$

Следовательно,