Упр.12.24 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: треугольник ABC; CD-медиана; AC > BC;
Доказать: угол ACD < угол BCD; Доказательство: 1) На луче CD отложим отрезок DE, равный отрезку CD; 2) AD=DB (по условию) и CD=DE, значит AEBC-параллелограмм; 3) По свойству параллелограмма: AC=EB и AE=BC; 4) Рассмотрим треугольник AEC: AC > BC (по условию) и AE=BC, значит AC > AE;
Угол AEC лежит против стороны AC, в угол ACD-против стороны AE,
следовательно угол ACD < угол AEC; 5) треугольник ACE=треугольник BCE по третьему признаку (сторона EC-общая), отсюда: угол BCD = углу AEC; 6) Значит: угол ACD < угол BCD, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

На луче $$CD$$ отложим отрезок $$DE$$, равный отрезку $$CD$$.

Так как $$CD$$ — медиана, то $$AD=DB$$. Кроме того, по построению $$CD=DE$$. Следовательно, четырёхугольник $$AEBC$$ — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма получаем:

$$AE=BC,\qquad AC=EB.$$

Рассмотрим треугольник $$AEC$$. По условию $$AC>BC$$, а так как $$AE=BC$$, то $$AC>AE$$.

В треугольнике большему боку противолежит больший угол, значит, в треугольнике $$AEC$$

$$\angle AEC<\angle ACE.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ACE$$ и $$BCE$$. У них:

$$AC=EB,\qquad AE=BC,\qquad CE$$ — общая сторона.

Следовательно, $$\triangle ACE \cong \triangle BCE$$ по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда

$$\angle BCD=\angle AEC.$$