Упр.3.24 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 24. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена медиана ВМ. На ней взята точка D. Докажите равенство треугольников: 1) ABD и CBD; 2) AMD и CMD.

Подробный ответ

Так как $$BM$$ — медиана равнобедренного треугольника $$ABC$$ с основанием $$AC$$, то она является одновременно и высотой, и биссектрисой.

1) Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$.

Из того, что $$BM$$ — медиана и точка $$D$$ лежит на ней, следует, что $$D$$ — середина отрезка $$AC$$, значит $$AD=DC$$.

Кроме того, $$BD$$ — общая сторона, а так как $$BD$$ лежит на высоте, то $$\angle BDA=\angle BDC=90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle CBD$$ по двум сторонам и углу между ними:

$$BD=BD,\quad AD=DC,\quad \angle BDA=\angle BDC.$$

Значит, $$AB=BC$$.

2) Рассмотрим треугольники $$AMD$$ и $$CMD$$.

Так как $$BM$$ — медиана, то $$AM=MC$$.

Поскольку $$BM$$ — высота, а точка $$D$$ лежит на $$BM$$, имеем $$\angle DMA=\angle DMC=90^\circ$$.

Также $$DM$$ — общая сторона.