Упр.3.24 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ проведена медиана $$BM$$. На ней взята точка $$D$$. Докажите равенство треугольников: 1) $$ABD$$ и $$CBD$$; 2) $$AMD$$ и $$CMD$$.
Так как $$BM$$ — медиана равнобедренного треугольника $$ABC$$ с основанием $$AC$$, то $$AB=BC$$ и $$AM=MC$$. Кроме того, в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой, значит $$BM\perp AC$$.
Точка $$D$$ лежит на прямой $$BM$$, поэтому $$BD$$ — общая сторона для рассматриваемых треугольников, а также $$BD\perp AC$$.
1) Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$. Имеем:
$$AB=BC,$$
$$BD=BD,$$
$$\angle ADB=\angle CDB=90^\circ.$$
Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle CBD$$ по двум сторонам и углу между ними.
2) Рассмотрим треугольники $$AMD$$ и $$CMD$$. Имеем:
$$AM=MC,$$
$$MD=MD,$$
$$\angle AMD=\angle CMD=90^\circ.$$
Следовательно, $$\triangle AMD \cong \triangle CMD$$ по двум сторонам и углу между ними.
Ответ
$$\triangle ABD \cong \triangle CBD,$$ $$\triangle AMD \cong \triangle CMD.$$
