Упр.12.24 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Дан треугольник $$ABC$$. $$CD$$ — медиана, проведённая к стороне $$AB$$. Докажите, что если $$AC>BC$$, то угол $$ACD$$ меньше угла $$BCD$$.

На луче $$CD$$ отложим отрезок $$DE$$, равный отрезку $$CD$$.

Так как $$CD$$ — медиана, то $$AD=DB$$. Кроме того, $$CD=DE$$. Следовательно, четырёхугольник $$AEBC$$ — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма получаем:

$$AC=EB,\qquad AE=BC.$$

Рассмотрим треугольник $$AEC$$. По условию $$AC>BC$$, а так как $$AE=BC$$, то $$AC>AE$$.

В треугольнике $$AEC$$ против большей стороны $$AC$$ лежит больший угол, значит

$$\angle AEC<\angle ACE.$$

Треугольники $$ACE$$ и $$BCE$$ равны по трём сторонам:

$$AC=EB,\qquad AE=BC,\qquad CE\text{ — общая сторона}.$$

Отсюда соответствующие углы равны:

$$\angle ACE=\angle BCD,\qquad \angle AEC=\angle BEC.$$

Так как $$\angle ACD$$ и $$\angle AEC$$ — смежные с равными углами при построении параллелограмма, то получаем

$$\angle ACD<\angle BCD.$$

Что и требовалось доказать.