Упр.9.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что прямая, проходящая через центр окружности, является её осью симметрии.
Пусть прямая $$AB$$ проходит через центр $$O$$ окружности и пересекает её в точках $$A$$ и $$B$$. Тогда $$AB$$ — диаметр окружности.
Возьмём произвольную точку $$X$$ окружности и опустим из неё перпендикуляр $$XM$$ на прямую $$AB$$. На окружности по другую сторону от прямой $$AB$$ отметим точку $$X’$$ так, чтобы точки $$X, O, X’$$ лежали на одной прямой.
Так как $$OX=OX’=R$$, то треугольник $$XX’O$$ равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины $$O$$ к основанию $$XX’$$, является и медианой. Значит, $$M$$ — середина отрезка $$XX’$$, то есть $$XM=MX’$$.
Следовательно, точки $$X$$ и $$X’$$ симметричны относительно прямой $$AB$$. Поскольку точка $$X$$ была произвольной, любая точка окружности переходит при отражении относительно прямой $$AB$$ в другую точку этой же окружности.
Значит, прямая, проходящая через центр окружности, является её осью симметрии.
