Упр.15.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 23. В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см, а одна из диагоналей основания 4 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол 60°. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 pogorelov7-9 15-23 76

Обозначим данный прямой параллелепипед через $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, где $$AB=3$$ см, $$AD=5$$ см, а диагональ основания $$BD=4$$ см. Меньшая пространственная диагональ образует с плоскостью основания угол $$60^\circ$$, значит для диагонали $$DB_1$$ имеем $$\angle BDB_1=60^\circ$$.

Рассмотрим треугольник $$ABD$$:

$$AB^2+BD^2=3^2+4^2=9+16=25=AD^2.$$

Следовательно, треугольник $$ABD$$ прямоугольный, и $$\angle ABD=90^\circ$$. Тогда

$$\cos \angle BAD=\frac{AB}{AD}=\frac{3}{5}.$$

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные углы равны, поэтому

$$\angle ADC=180^\circ-\angle BAD,$$

откуда

$$\cos \angle ADC=\cos(180^\circ-\angle BAD)=-\cos \angle BAD=-\frac{3}{5}.$$

Теперь по теореме косинусов в треугольнике $$ACD$$:

$$ AC^2=AD^2+CD^2-2\cdot AD\cdot CD\cdot \cos \angle ADC $$

$$ AC^2=5^2+3^2-2\cdot 5\cdot 3\cdot \left(-\frac{3}{5}\right) =25+9+18=52, $$

значит

$$AC=\sqrt{52}.$$

Найдём высоту параллелепипеда. В прямоугольном треугольнике $$DBB_1$$:

$$\tg \angle BDB_1=\frac{BB_1}{BD},$$

откуда

$$BB_1=BD\cdot \tg 60^\circ=4\sqrt{3}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACC_1$$. Его катеты равны $$AC$$ и $$CC_1=BB_1=4\sqrt{3}$$, поэтому

$$ AC_1=\sqrt{AC^2+CC_1^2} =\sqrt{52+(4\sqrt{3})^2} =\sqrt{52+48} =\sqrt{100}=10. $$

Следовательно, большая диагональ параллелепипеда равна $$10$$ см.

Ответ

$$10\text{ см}$$