Упр.14.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: высота прямоугольного треугольника делит его гипотенузу на
отрезки 32 см и 18 см;
Найти: площадь этого треугольника;
Решение:
1) Пусть ABC-данный прямоугольный треугольник с прямым углом C;
2) Из вершины C опустим высоту CH треугольника, тогда по условию:
BH=32 см и AH=18 см;
3) По доказанному в контрольном вопросе 11 параграфа 11, высота CH
есть среднее пропорциональное между проекциями катетов CH и CA на
гипотенузу AB, то есть:
CH=v(AH•BH)=v(18•32)=v(9•2•2•16)=3•2•4=24 см;
4) Гипотенуза треугольника: AB=AH+BH=18+32=50 см;
5) Найдем площадь треугольника ABC:
S=1/2 AB•CH=1/2•50•24=600 см^2;
Ответ: 600 см^2.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $$C$$. Из вершины $$C$$ опустим высоту $$CH$$ на гипотенузу $$AB$$. По условию $$AH=18$$ см, $$BH=32$$ см.

Для высоты прямоугольного треугольника верно:

$$CH^2=AH\cdot BH.$$

Тогда

$$CH=\sqrt{18\cdot 32}=\sqrt{576}=24\text{ см}.$$

Найдём гипотенузу:

$$AB=AH+BH=18+32=50\text{ см}.$$

Теперь вычислим площадь треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot 50\cdot 24=600\text{ см}^2.$$