Упр.6.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и углу; 2) по диагоналям и углу между ними.

Параллелограмм можно построить двумя способами.

1) Построение параллелограмма по двум сторонам и углу

Пусть даны угол $$A$$ и отрезки $$a$$ и $$b$$ — стороны параллелограмма.

1. На сторонах угла $$A$$ отложим отрезки $$AD$$ и $$AB$$, причём $$AD=a$$, $$AB=b$$.
2. Из точки $$D$$ проведём окружность радиуса $$AB$$, а из точки $$B$$ — окружность радиуса $$AD$$.
3. Обозначим точку их пересечения через $$C$$ так, чтобы она лежала по другую сторону от точки $$A$$ относительно прямой $$BD$$.
4. Четырёхугольник $$ABCD$$ — искомый параллелограмм.

Действительно, по построению $$AB=CD$$ и $$AD=BC$$, значит, в четырёхугольнике $$ABCD$$ противоположные стороны попарно равны, следовательно, $$ABCD$$ — параллелограмм.

2) Построение параллелограмма по диагоналям и углу между ними

Пусть даны угол $$O$$ и отрезки $$d_1$$, $$d_2$$ — диагонали параллелограмма.

1. Построим серединные перпендикуляры к отрезкам $$d_1$$ и $$d_2$$, чтобы найти их середины.
2. Продлим стороны угла $$O$$; получим две пересекающиеся прямые.
3. Из точки $$O$$ проведём окружность радиуса $$\frac{d_1}{2}$$ и отметим на одной из прямых точки $$A$$ и $$C$$ — они будут концами одной диагонали.
4. Из точки $$O$$ проведём окружность радиуса $$\frac{d_2}{2}$$ и отметим на второй прямой точки $$B$$ и $$D$$ — они будут концами второй диагонали.
5. Четырёхугольник $$ABCD$$ — искомый параллелограмм.

Так как точка $$O$$ является серединой обеих диагоналей, то диагонали четырёхугольника взаимно делятся пополам. Следовательно, $$ABCD$$ — параллелограмм.