Упр.10.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 23. Дан параллелограмм ABCD, АС = а, DB = b (рис. 234). Выразите векторы АВ, СВ, CD и AD через а и b.

Пусть диагонали параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Тогда по свойству параллелограмма диагонали делятся точкой пересечения пополам:

$$AO=OC=\frac{1}{2}AC,\qquad BO=OD=\frac{1}{2}BD.$$

Так как $$\overrightarrow{AC}=\vec a$$, то

$$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\vec a,\qquad \overrightarrow{CO}=-\frac{1}{2}\vec a.$$

Так как $$\overrightarrow{DB}=\vec b$$, то

$$\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}\vec b,\qquad \overrightarrow{OD}=-\frac{1}{2}\vec b,\qquad \overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}\vec b.$$

Теперь выразим искомые векторы:

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}\vec a+\frac{1}{2}\vec b=\frac{1}{2}(\vec a+\vec b),$$

$$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OB}=-\frac{1}{2}\vec a+\frac{1}{2}\vec b=\frac{1}{2}(\vec b-\vec a),$$

$$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OD}=-\frac{1}{2}\vec a-\frac{1}{2}\vec b=-\frac{1}{2}(\vec a+\vec b),$$

$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\vec a-\frac{1}{2}\vec b=\frac{1}{2}(\vec a-\vec b).$$

Ответ

$$\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(\vec a+\vec b),\quad \overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}(\vec b-\vec a),\quad \overrightarrow{CD}=-\frac{1}{2}(\vec a+\vec b),\quad \overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\vec a-\vec b).$$