Упр.3.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- 3-23. Докажите равенство треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу.
Пусть $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$ — данные треугольники, для которых $$\angle A=\angle A_1$$, $$AD=A_1D_1$$, где $$AD$$ и $$A_1D_1$$ — биссектрисы, и $$AB=A_1B_1$$.
Так как $$AD$$ и $$A_1D_1$$ — биссектрисы, то
$$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle A,\qquad \angle B_1A_1D_1=\frac{1}{2}\angle A_1.$$
Поскольку $$\angle A=\angle A_1$$, получаем $$\angle BAD=\angle B_1A_1D_1$$.
Следовательно, треугольники $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$ равны по первому признаку: $$AB=A_1B_1$$, $$AD=A_1D_1$$, $$\angle BAD=\angle B_1A_1D_1$$.
Тогда соответствующие углы равных треугольников равны, значит $$\angle ABD=\angle A_1B_1D_1$$.
Но точки $$D$$ и $$D_1$$ лежат на биссектрисах, поэтому лучи $$BD$$ и $$B_1D_1$$ делят углы при вершинах $$B$$ и $$B_1$$. Отсюда получаем равенство соответствующих углов при вершинах $$B$$ и $$B_1$$, а значит треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Итак, треугольники, у которых равны угол, биссектриса этого угла и прилежащая к нему сторона, являются равными.
