Упр.15.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- В прямом параллелепипеде стороны основания $$3$$ см и $$5$$ см, а одна из диагоналей основания $$4$$ см. Найдите большую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол $$60^\circ$$.
Обозначим данный параллелепипед через $$ABCDA_1B_1C_1D_1.$$ Тогда $$AB=3\text{ см},\ AD=5\text{ см},\ BD=4\text{ см}.$$
Рассмотрим треугольник $$ABD.$$ Проверим его вид:
$$AB^2+BD^2=3^2+4^2=9+16=25=AD^2.$$
Значит, треугольник $$ABD$$ прямоугольный, и $$\angle ABD=90^\circ.$$ Тогда
$$\cos \angle BAD=\frac{AB}{AD}=\frac{3}{5}.$$
В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные углы равны, поэтому
$$\angle ADC=180^\circ-\angle BAD,$$
а значит
$$\cos \angle ADC=\cos(180^\circ-\angle BAD)=-\cos \angle BAD=-\frac{3}{5}.$$
Теперь найдём диагональ основания $$AC$$ по теореме косинусов в треугольнике $$ACD$$:
$$AC^2=AD^2+CD^2-2\cdot AD\cdot CD\cdot \cos \angle ADC$$
$$AC^2=5^2+3^2-2\cdot 5\cdot 3\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)=25+9+18=52,$$
откуда
$$AC=\sqrt{52}\text{ см}.$$
Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $$60^\circ$$. В прямоугольном треугольнике, образованном этой диагональю, её проекцией на основание и высотой параллелепипеда, получаем:
$$\tan 60^\circ=\frac{h}{BD},$$
где $$h$$ — высота параллелепипеда. Тогда
$$h=BD\cdot \tan 60^\circ=4\cdot \sqrt{3}=4\sqrt{3}\text{ см}.$$
Большая диагональ параллелепипеда равна
$$d=\sqrt{AC^2+h^2}=\sqrt{52+(4\sqrt{3})^2}=\sqrt{52+48}=\sqrt{100}=10\text{ см}.$$
Ответ: $$10\text{ см}.$$
