Упр.11.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции, делит одно основание в отношении $$m:n$$. В каком отношении она делит другое основание?
Пусть $$ABCD$$ — данная трапеция, диагонали которой пересекаются в точке $$E$$. Прямая $$MN$$ проходит через точку $$E$$ и пересекает основания $$AD$$ и $$BC$$ в точках $$M$$ и $$N$$ соответственно.
Пусть на основании $$AD$$ она делит отрезок в отношении $$AM:MD=m:n$$. Докажем, что на другом основании получается отношение $$BN:NC=n:m$$.
Рассмотрим треугольники $$AEM$$ и $$CEN$$. У них:
- $$\angle AEM=\angle CEN$$ как вертикальные;
- $$\angle AME=\angle CNE$$ как соответственные углы при параллельных прямых $$AD \parallel BC$$ и секущей $$MN$$.
Следовательно, $$\triangle AEM \sim \triangle CEN$$, поэтому
$$\frac{AM}{CN}=\frac{ME}{EN}.$$
Аналогично рассмотрим треугольники $$DEM$$ и $$BEN$$. У них:
- $$\angle DEM=\angle BEN$$ как вертикальные;
- $$\angle DME=\angle BNE$$ как соответственные углы при $$AD \parallel BC$$ и секущей $$MN$$.
Значит, $$\triangle DEM \sim \triangle BEN$$, откуда
$$\frac{DM}{BN}=\frac{ME}{EN}.$$
Из двух равенств получаем:
$$\frac{AM}{CN}=\frac{DM}{BN}.$$
Так как $$AM:MD=m:n$$, то $$AM=km$$, $$MD=kn$$ для некоторого $$k$$. Тогда из равенства выше следует, что
$$CN:BN=m:n,$$
то есть
$$BN:NC=n:m.$$
Ответ: $$n:m$$.
