Упр.7.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: любая хорда окружности не больше диаметра и равна
диаметру, только в том случае, если сама является им;
Доказательство:
1) Проведем хорду AB окружности с центром в точке O, тогда:
OA=OB=R;
2) Согласно неравенству треугольника: AB < =OA+OB=2R; 3) Так как 2R=d, то хорда AB может быть либо равна диаметру (если точка O лежит на AB), либо быть меньше него, что и требовалось Доказать.

Подробный ответ

Пусть $$AB$$ — произвольная хорда окружности с центром в точке $$O$$. Тогда $$OA=OB=R$$, где $$R$$ — радиус окружности.

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. По неравенству треугольника имеем:

$$AB \le OA+OB.$$

Так как $$OA=OB=R$$, то

$$AB \le R+R=2R.$$

Но $$2R=d$$, где $$d$$ — диаметр окружности. Значит,

$$AB \le d.$$

Следовательно, любая хорда окружности не больше диаметра.

Равенство $$AB=d$$ возможно только в случае, когда точки $$A$$, $$O$$ и $$B$$ лежат на одной прямой, то есть хорда проходит через центр окружности. Тогда $$AB$$ является диаметром.

Итак, хорда окружности равна диаметру только тогда, когда сама является диаметром.