Упр.8.22 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что четыре точки $$(1; 0),\ (-1; 0),\ (0; 1),\ (0; -1)$$ являются вершинами квадрата.

Пусть $$A(1;0),\ B(-1;0),\ C(0;1),\ D(0;-1).$$

Найдём длины сторон и диагоналей четырёхугольника $$ACBD$$:

$$AC=\sqrt{(1-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt2,$$
$$CB=\sqrt{(-1-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt2,$$
$$BD=\sqrt{(-1-0)^2+(0-(-1))^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt2,$$
$$DA=\sqrt{(0-1)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt2.$$

Следовательно, все стороны четырёхугольника $$ACBD$$ равны:

$$AC=CB=BD=DA=\sqrt2.$$

Значит, $$ACBD$$ — ромб.

Кроме того, его диагонали:

$$AB=\sqrt{(1-(-1))^2+(0-0)^2}=2,$$
$$CD=\sqrt{(0-0)^2+(1-(-1))^2}=2.$$

Диагонали ромба равны, а значит, этот ромб является квадратом.

Итак, точки $$A(1;0),\ B(-1;0),\ C(0;1),\ D(0;-1)$$ являются вершинами квадрата.