Упр.14.22 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Найти: площадь правильного треугольника, вписанного в окружность,
радиус котрой равен R;
Решение:
1) Найдем сторону этого треугольника по формуле из задачи 13.16:
a=2R•sin(180°)/3=2R•sin60°=2R•v3/2=Rv3;
2) Определим его площадь по доказанному в предыдущей задаче:
S=(a^2 v3)/4=((Rv3)^2•v3)/4=(3R^2 v3)/4;
Ответ: (3Rv3)/4.

Подробный ответ

Пусть $$a$$ — сторона правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $$R$$.

Для правильного треугольника центральный угол, стягивающий его сторону, равен $$120^\circ$$, поэтому по формуле хорды

$$a=2R\sin 60^\circ=2R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}.$$

Теперь найдём площадь правильного треугольника по формуле

$$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

Подставим найденное значение $$a$$:

$$ S=\frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} =\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}. $$