Вопрос 22 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что середины сторон треугольника, середины отрезков, соединяющих его ортоцентр с вершинами, и основания высот треугольника лежат на окружности Эйлера.
Пусть дан треугольник $$ABC$$, $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$C_1$$ — середины его сторон, $$A_2,$$ $$B_2,$$ $$C_2$$ — основания высот, а $$H_1,$$ $$H_2,$$ $$H_3$$ — середины отрезков, соединяющих ортоцентр $$H$$ с вершинами $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ соответственно.
Докажем, что все эти точки лежат на одной окружности.
Так как $$C_1$$ и $$H_2$$ — середины сторон угла $$ABH$$, то по теореме Фалеса
$$C_1H_2 \parallel AH.$$
Аналогично, так как $$B_1$$ и $$H_3$$ — середины сторон угла $$ACH$$, то
$$B_1H_3 \parallel AH.$$
Следовательно, $$C_1H_2 \parallel B_1H_3.$$
Отрезки $$C_1B_1$$ и $$H_2H_3$$ являются средними линиями треугольников $$BCA$$ и $$BCH$$ с общим основанием $$BC$$, значит
$$C_1B_1 \parallel H_2H_3.$$
Итак, четырехугольник $$C_1B_1H_3H_2$$ — параллелограмм. Но $$AH \perp BC$$, поэтому $$C_1H_2 \perp C_1B_1$$. Значит, $$C_1B_1H_3H_2$$ — прямоугольник.
Аналогично доказывается, что четырехугольник $$C_1H_1H_3A_1$$ тоже является прямоугольником.
В прямоугольниках диагонали равны и пересекаются в одной точке. Поэтому
$$A_1H_1 = B_1H_2 = C_1H_3,$$
и эти отрезки пересекаются в одной точке $$O$$.
Следовательно, точки $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$C_1,$$ $$H_1,$$ $$H_2,$$ $$H_3$$ лежат на одной окружности с центром $$O$$. Эта окружность называется окружностью Эйлера.
Осталось показать, что на этой окружности лежат и основания высот. Рассмотрим точку $$A_2$$. Углы $$A_1A_2H_1$$ и $$A_1C_1H_1$$ прямые, значит точки $$A_1,$$ $$A_2,$$ $$H_1,$$ $$C_1$$ лежат на окружности с диаметром $$A_1H_1$$. Но $$A_1,$$ $$C_1,$$ $$H_1$$ уже лежат на окружности Эйлера, значит и $$A_2$$ лежит на ней.
Аналогично на этой окружности лежат точки $$B_2$$ и $$C_2$$.
Таким образом, середины сторон треугольника, середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, и основания высот лежат на одной окружности — окружности Эйлера.
