Упр.3.22 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Точки $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$ лежат на одной прямой, причём отрезки $$AB$$ и $$CD$$ имеют общую середину. Докажите, что если треугольник $$ABE$$ равнобедренный с основанием $$AB$$, то треугольник $$CDE$$ тоже равнобедренный с основанием $$CD$$ (рис. 64).

Пусть точки $$A$$, $$O$$, $$B$$ лежат на одной прямой, причём $$AO=OB$$. Тогда точка $$O$$ — середина отрезка $$AB$$. Аналогично, если $$C$$, $$O$$, $$D$$ лежат на одной прямой и $$CO=OD$$, то $$O$$ — середина отрезка $$CD$$.

Рассмотрим треугольник $$ABE$$. По условию он равнобедренный, значит

$$AE=BE.$$

Кроме того, в равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$$\angle EAB=\angle EBA.$$

Так как точки $$A$$, $$O$$, $$B$$ лежат на одной прямой, а точки $$C$$, $$O$$, $$D$$ — на другой прямой, то углы $$\angle EAC$$ и $$\angle EBD$$ являются смежными с равными углами $$\angle EAB$$ и $$\angle EBA$$ соответственно. Следовательно,

$$\angle EAC=\angle EBD.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$CAE$$ и $$EDB$$. В них:

• $$AE=BE$$;
• $$CA=DB$$, так как $$CO=OD$$ и $$AO=OB$$, значит $$CA=CO-AO=DO-BO=DB$$;
• $$\angle EAC=\angle EBD.$$

Следовательно, треугольники $$CAE$$ и $$EDB$$ равны по первому признаку равенства треугольников. Тогда

$$CE=ED.$$

Значит, треугольник $$CDE$$ равнобедренный с основанием $$CD$$.

Ответ

$$CE=ED$$, поэтому $$\triangle CDE$$ равнобедренный.