Упр.2.22 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Из вершины O смежных углов $$\angle AOB$$ и $$\angle COB$$ проведён луч $$OD$$ в полуплоскость, где проходит общая сторона $$OB$$ углов (рис. 43). Докажите, что луч $$OD$$ пересекает либо отрезок $$AB$$, либо отрезок $$BC$$. Какой из отрезков пересекает луч $$OD$$, если угол $$\angle AOD$$ меньше (больше) угла $$\angle AOB$$? Объясните ответ.
Так как углы $$\angle AOB$$ и $$\angle COB$$ смежные, точки $$A$$, $$O$$, $$C$$ лежат на одной прямой, а луч $$OB$$ расположен между лучами $$OA$$ и $$OC$$.
Проведём через луч $$OD$$ прямую. Она делит плоскость на две полуплоскости. Точки $$A$$ и $$C$$ лежат по разные стороны от прямой $$OD$$, потому что луч $$OD$$ проведён в ту же полуплоскость, что и луч $$OB$$, а лучи $$OA$$ и $$OC$$ принадлежат разным сторонам прямой $$OB$$.
Точка $$B$$ находится в одной из этих полуплоскостей. Значит, она либо по одну сторону с $$A$$, либо по одну сторону с $$C$$. Тогда отрезок $$AB$$ или отрезок $$BC$$ пересекает луч $$OD$$.
Если $$\angle AOD<\angle AOB$$, то луч $$OD$$ лежит внутри угла $$AOB$$. В этом случае точки $$A$$ и $$B$$ оказываются по разные стороны от прямой $$OD$$, поэтому луч $$OD$$ пересекает отрезок $$AB$$.
Если же $$\angle AOD>\angle AOB$$, то луч $$OD$$ выходит за пределы угла $$AOB$$ и попадает внутрь угла $$BOC$$. Тогда точки $$B$$ и $$C$$ лежат по разные стороны от прямой $$OD$$, значит, луч $$OD$$ пересекает отрезок $$BC$$.
Ответ
Луч $$OD$$ пересекает либо отрезок $$AB$$, либо отрезок $$BC$$. Если $$\angle AOD<\angle AOB$$, то он пересекает $$AB$$; если $$\angle AOD>\angle AOB$$, то он пересекает $$BC$$.
