Упр.12.22 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

У треугольника $$ABC$$ угол $$C$$ тупой. Докажите, что если точка $$X$$ лежит на стороне $$AC$$, а точка $$Y$$ — на стороне $$BC$$, то $$XY

Подробный ответ

Пусть из точки $$X$$ опущен перпендикуляр $$XH$$ на прямую $$BC$$.

Так как $$\angle C$$ тупой, то точка $$H$$ лежит на продолжении прямой $$BC$$ за точкой $$C$$. Действительно, иначе в треугольнике $$XCH$$ получился бы только один острый угол, что невозможно.

Точка $$Y$$ лежит между точками $$C$$ и $$B$$, значит

$$HY=HC+CY,$$

а также

$$HB=HC+CB=HC+CY+YB,$$

следовательно, $$HY<HB$$.

Теперь рассмотрим наклонные $$XY$$ и $$XB$$, проведённые из точки $$X$$ к прямой $$BC$$. Их проекции на прямую $$BC$$ равны соответственно $$HY$$ и $$HB$$. Так как $$HY<HB$$, то по теореме о наклонных

$$XY<XB.$$

Кроме того, по результату предыдущей задачи

$$XB<AB.$$

Тогда

$$XY<XB<AB,$$

откуда

$$XY<AB.$$

Ответ: $$XY<AB$$.