Упр.11.22 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найдите отношение отрезков диагонали трапеции, на которые она разбивается другой диагональю, если основания трапеции относятся как $$m:n$$.

Рассмотрим трапецию $$ABCD$$, у которой $$AD \parallel BC$$, а диагонали пересекаются в точке $$E$$. Пусть $$AD:BC=m:n$$.

Рассмотрим треугольники $$DAE$$ и $$BCE$$.

Углы $$\angle DAE$$ и $$\angle BCE$$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$AC$$.

Углы $$\angle DEA$$ и $$\angle BEC$$ равны как вертикальные.

Следовательно, $$\triangle DAE \sim \triangle BCE$$ по двум углам. Тогда

$$\frac{AE}{CE}=\frac{DE}{BE}=\frac{AD}{BC}.$$

Так как $$\frac{AD}{BC}= \frac{m}{n}$$, то

$$\frac{AE}{CE}=\frac{DE}{BE}=\frac{m}{n}.$$

Значит, диагонали трапеции делятся точкой пересечения в отношении оснований.

Ответ: $$m:n$$.