Упр.10.22 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Точки $$M$$ и $$N$$ являются серединами отрезков $$AB$$ и $$CD$$ соответственно. Докажите векторное равенство $$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)$$ (рис. 233).

Так как точка $$M$$ — середина отрезка $$AB$$, то

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB},$$

следовательно,

$$\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{MA}.$$

Аналогично, так как точка $$N$$ — середина отрезка $$CD$$, имеем

$$\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{ND},$$

откуда

$$\overrightarrow{CN}=-\overrightarrow{DN}.$$

Выразим вектор $$\overrightarrow{MN}$$ через путь $$M \to A \to C \to N$$:

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}.$$

Теперь выразим тот же вектор через путь $$M \to B \to D \to N$$:

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN}.$$

Сложим эти равенства:

$$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN}.$$

Подставим найденные соотношения $$\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{MA}$$ и $$\overrightarrow{CN}=-\overrightarrow{DN}$$:

$$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right).$$

Ответ

$$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right).$$