Упр.6.22 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

I)
Построить: параллелограмм по двум сторонам и диагонали:
Построение:
1) Пусть даны отрезки a, b-стороны параллелограмма и отрезок
d-его диагональ.
2) На произвольной прямой отложим отрезок AC длины d;
3) Из точки A проведем окружность радиуса a, из точки C проведем
окружность радиуса b, отметим точку B на их пересечении;
4) Из точки A проведем окружность радиуса b, из точки C проведем
окружность радиуса a, отметим точку D на том из пересечений этих
окружностей, которое лежит по другую сторону от точки B относительно
прямой AC;
5) Параллелограмм ABCD-искомый:
II)
Построить: параллелограмм по стороне и двум диагоналям;
Построение:
1) Пусть даны отрезок a-сторона параллелограмма и отрезки
d1, d2-его диагонали:
2) На произвольной прямой отложим отрезок AD длины a;
3) Отметим середины отрезков d1 и d2 построив их серединные
перпендикуляры.
4) Из точки A проведем окружность радиуса 1/2 d1, из точки D
проведем окружность радиуса 1/2 d2, отметим точку O на их пересечении;
5) Из точки A проведем окружность радиуса d1 и отметим точку C
на пересечении этой окружности и луча AO;
6) Из точки D проведем окружность радиуса d2 и отметим точку B
на пересечении этой окружности и луча DO;
7) Параллелограмм ABCD-искомый

Подробный ответ

I. Построение параллелограмма по двум сторонам и диагонали.

Пусть даны отрезки $$a$$ и $$b$$ — стороны параллелограмма, а $$d$$ — его диагональ.

На произвольной прямой отложим отрезок $$AC=d$$.
Из точки $$A$$ проведём окружность радиуса $$a$$, а из точки $$C$$ — окружность радиуса $$b$$. Их пересечение обозначим через $$B$$.
Из точки $$A$$ проведём окружность радиуса $$b$$, а из точки $$C$$ — окружность радиуса $$a$$. Одну из точек пересечения обозначим через $$D$$ так, чтобы она лежала по другую сторону от прямой $$AC$$, чем точка $$B$$.
Соединим точки $$A, B, C, D$$.

Полученный четырёхугольник $$ABCD$$ — параллелограмм, так как

$$AB=CD=a,\qquad BC=AD=b,$$

а диагональ $$AC$$ общая для треугольников $$ABC$$ и $$CDA$$. Следовательно, построение выполнено верно.

II. Построение параллелограмма по стороне и двум диагоналям.

Пусть даны отрезок $$a$$ — сторона параллелограмма и диагонали $$d_1$$ и $$d_2$$.

На произвольной прямой отложим отрезок $$AD=a$$.
Построим середины отрезков $$d_1$$ и $$d_2$$ с помощью их серединных перпендикуляров.
Из точки $$A$$ проведём окружность радиуса $$\frac{d_1}{2}$$, а из точки $$D$$ — окружность радиуса $$\frac{d_2}{2}$$. Их пересечение обозначим через $$O$$.
Из точки $$A$$ проведём окружность радиуса $$d_1$$ и отметим точку $$C$$ на пересечении этой окружности с лучом $$AO$$.
Из точки $$D$$ проведём окружность радиуса $$d_2$$ и отметим точку $$B$$ на пересечении этой окружности с лучом $$DO$$.
Соединим точки $$A, B, C, D$$.

Тогда $$ABCD$$ — искомый параллелограмм, так как точка $$O$$ является серединой обеих диагоналей, а в параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам.