Вопрос 22 Параграф 10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что для любых трёх векторов $$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$$ $$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\mathbf{c}=\mathbf{a}\mathbf{c}+\mathbf{b}\mathbf{c}$$.

Пусть $$\vec a=(a_1;a_2),\ \vec b=(b_1;b_2),\ \vec c=(c_1;c_2).$$

Тогда

$$(\vec a+\vec b)\cdot \vec c = ((a_1+b_1;\ a_2+b_2))\cdot (c_1;c_2) = (a_1+b_1)c_1+(a_2+b_2)c_2$$
$$=a_1c_1+a_2c_2+b_1c_1+b_2c_2.$$

С другой стороны,

$$\vec a\cdot \vec c+\vec b\cdot \vec c = (a_1;c_1)+(a_2;c_2)+(b_1;c_1)+(b_2;c_2) = a_1c_1+a_2c_2+b_1c_1+b_2c_2.$$

Следовательно,

$$(\vec a+\vec b)\cdot \vec c=\vec a\cdot \vec c+\vec b\cdot \vec c.$$

Что и требовалось доказать.