Упр.8.21 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что четырёхугольник $$ABCD$$ с вершинами в точках $$A(4; 1)$$, $$B(0; 4)$$, $$C(-3; 0)$$, $$D(1; -3)$$ является квадратом.

Найдём длины сторон четырёхугольника:

$$AB=\sqrt{(4-0)^2+(1-4)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5,$$
$$BC=\sqrt{(0-(-3))^2+(4-0)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5,$$
$$CD=\sqrt{((-3)-1)^2+(0-(-3))^2}=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{25}=5,$$
$$DA=\sqrt{(1-4)^2+((-3)-1)^2}=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5.$$

Следовательно, все стороны четырёхугольника равны, значит $$ABCD$$ — ромб.

Теперь найдём диагонали:

$$AC=\sqrt{(4-(-3))^2+(1-0)^2}=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50},$$
$$BD=\sqrt{(0-1)^2+(4-(-3))^2}=\sqrt{(-1)^2+7^2}=\sqrt{50}.$$

Диагонали ромба равны. А ромб с равными диагоналями является квадратом. Значит, четырёхугольник $$ABCD$$ — квадрат.

Ответ: $$ABCD$$ — квадрат.