Упр.14.21 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Найти: площадь равностороннего треугольника со стороной a;
Решение:
1) Пусть ABC-данный равносторонний треугольник со сторонами:
AB=BC=CA=a;
2) Из вершины B опустим высоту BH треугольника;
3) Треугольник ABC-равнобедренный с основанием AC, значит его
высота BH является и медианой, тогда: AH=HC=1/2 AC=a/2;
4) В прямоугольном треугольнике ABH по теореме Пифагора:
BH=v(AB^2-AH^2 )=v(a^2-(a/2)^2 )=v(a^2-a^2/4)=v((3a^2)/4)=(av3)/2;
5) Найдем площадь треугольника ABC:
S=1/2•AC•BH=1/2•a•(av3)/2=(a^2 v3)/4;
Ответ: (a^2 v3)/4.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный равносторонний треугольник, тогда

$$AB=BC=CA=a.$$

Опустим из вершины $$B$$ высоту $$BH$$ на сторону $$AC$$. В равностороннем треугольнике высота является также медианой, значит

$$AH=HC=\frac{AC}{2}=\frac{a}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. По теореме Пифагора:

$$ BH=\sqrt{AB^2-AH^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}} =\sqrt{\frac{3a^2}{4}} =\frac{a\sqrt{3}}{2}. $$

Теперь найдём площадь треугольника $$ABC$$:

$$ S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH =\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} =\frac{a^2\sqrt{3}}{4}. $$