Упр.7.21 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Даны прямая и точка С на расстоянии $$h$$ от этой прямой. Докажите, что из точки С можно провести две и только две наклонные длины $$l$$, если $$l>h$$ (рис. 165).

Пусть $$a$$ — данная прямая, а $$H$$ — основание перпендикуляра $$CH$$ к этой прямой. Тогда $$CH=h$$.

Так как $$l>h$$, то по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$l$$ и катетом $$h$$ получаем

$$AH=BH=\sqrt{l^2-h^2}.$$

На прямой $$a$$ по разные стороны от точки $$H$$ отложим отрезки $$HA$$ и $$HB$$ такой длины. Тогда

$$AC^2=CH^2+AH^2=h^2+\left(l^2-h^2\right)=l^2,$$

значит, $$AC=l$$. Аналогично

$$BC^2=CH^2+BH^2=h^2+\left(l^2-h^2\right)=l^2,$$

следовательно, $$BC=l$$.

Итак, из точки $$C$$ можно провести две наклонные длины $$l$$: $$CA$$ и $$CB$$.

Они единственные, потому что на каждой из двух полупрямых, на которые точка $$H$$ делит прямую $$a$$, можно отложить только один отрезок данной длины.

Ответ

Из точки $$C$$ можно провести две и только две наклонные длины $$l$$.