Упр.6.21 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В параллелограмме $$ABCD$$ перпендикуляр, опущенный из вершины $$B$$ на сторону $$AD$$, делит её пополам. Найдите диагональ $$BD$$ и стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма равен $$3{,}8\ \text{м}$$, а периметр треугольника $$ABD$$ равен $$3\ \text{м}$$.

Так как $$BH \perp AD$$ и $$AH=HD$$, то в треугольнике $$ABD$$ отрезок $$BH$$ является и высотой, и медианой. Значит, треугольник $$ABD$$ равнобедренный, поэтому

$$AB=BD.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно

$$AB=CD,\qquad BC=AD.$$

Обозначим $$AB=BD=x$$, $$AD=BC=y$$. Тогда по периметру параллелограмма

$$2x+2y=3{,}8,$$

то есть

$$x+y=1{,}9.$$

По периметру треугольника $$ABD$$ имеем

$$x+x+y=3,$$

то есть

$$2x+y=3.$$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$x=3-1{,}9=1{,}1.$$

Тогда

$$y=1{,}9-1{,}1=0{,}8.$$

Следовательно,

$$BD=1{,}1\text{ м},\quad AB=CD=1{,}1\text{ м},\quad AD=BC=0{,}8\text{ м}.$$

Ответ: $$BD=1{,}1\text{ м},\ AB=CD=1{,}1\text{ м},\ AD=BC=0{,}8\text{ м}.$$