Упр.3.21 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 21. Докажите, что у равных треугольников ABC и А1В1С1: 1) медианы, проведённые из вершин А и А1, равны; 2) биссектрисы, проведённые из вершин А и А1, равны.

1) Пусть в равных треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ проведены медианы $$AM$$ и $$A_1M_1$$. Тогда из равенства треугольников следует:

$$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad \angle B=\angle B_1.$$

Так как $$AM$$ и $$A_1M_1$$ — медианы, то

$$BM=\frac{1}{2}BC,\quad B_1M_1=\frac{1}{2}B_1C_1.$$

Из равенства $$BC=B_1C_1$$ получаем $$BM=B_1M_1$$.

Следовательно, треугольники $$ABM$$ и $$A_1B_1M_1$$ равны по первому признаку:

$$AB=A_1B_1,\quad BM=B_1M_1,\quad \angle ABM=\angle A_1B_1M_1.$$

Значит, соответствующие медианы равны:

$$AM=A_1M_1.$$

2) Пусть теперь в равных треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ проведены биссектрисы $$AD$$ и $$A_1D_1$$. Тогда

$$AB=A_1B_1,\quad \angle BAC=\angle B_1A_1C_1,\quad \angle B=\angle B_1.$$

Так как $$AD$$ и $$A_1D_1$$ — биссектрисы, то

$$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC,\quad \angle B_1A_1D_1=\frac{1}{2}\angle B_1A_1C_1.$$

Из равенства углов $$\angle BAC=\angle B_1A_1C_1$$ следует, что

$$\angle BAD=\angle B_1A_1D_1.$$

Тогда треугольники $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$ равны по второму признаку:

$$AB=A_1B_1,\quad \angle ABD=\angle A_1B_1D_1,\quad \angle BAD=\angle B_1A_1D_1.$$

Следовательно,

$$AD=A_1D_1.$$

Ответ

$$AM=A_1M_1,\quad AD=A_1D_1.$$