Упр.8.21 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 21. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках А (4; 1), В (0; 4), С (-3; 0), D (1; -3) является квадратом.

Подробный ответ

Найдём длины сторон четырёхугольника по формуле расстояния между двумя точками:

$$AB=\sqrt{(4-0)^2+(1-4)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5,$$
$$BC=\sqrt{(0-(-3))^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5,$$
$$CD=\sqrt{((-3)-1)^2+(0-(-3))^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5,$$
$$DA=\sqrt{(1-4)^2+((-3)-1)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.$$

Следовательно, все стороны четырёхугольника равны, значит $$ABCD$$ — ромб.

Теперь найдём длины диагоналей:

$$AC=\sqrt{(4-(-3))^2+(1-0)^2}=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50},$$
$$BD=\sqrt{(0-1)^2+(4-(-3))^2}=\sqrt{(-1)^2+7^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}.$$

В ромбе равенство диагоналей означает, что он является квадратом. Значит, четырёхугольник $$ABCD$$ — квадрат.