Упр.7.21 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: точка C отстоит от прямой на расстояние h;
Доказать: из точки C можно провести две и только две наклонные
длины l (l < h); Доказательство: 1) Пусть a данная прямая, а точка H-основание перпендикуляра CH к этой прямой, тогда CH=h; 2) Точка H делит прямую a на две полупрямых; 3) Отложим от точкки Y на кадой из этих полупрямых отрезки HA и HB, длины которых составляют: AH=HB=v(l^2-h^2); 4) По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках ACH и BCH: AC=CH^2+AH^2=v(h^2+(l^2-h^2))=v(l^2)=l; BC=CH^2+BH^2=v(h^2+(l^2-h^2))=v(l^2)=l; 5) Таким образом, из точки C можно построить две наклонные длины l на прямую a, а так как на одной полупрямой можно отложить только один отрезок данной длины, то эти наклонные-единственные, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$a$$ — данная прямая, а $$H$$ — основание перпендикуляра $$CH$$ к этой прямой. Тогда $$CH=h$$.

Проведём через точку $$H$$ на прямой $$a$$ две полупрямые. На каждой из них отложим отрезки $$HA$$ и $$HB$$ так, чтобы

$$AH=HB=\sqrt{l^2-h^2}.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ACH$$ и $$BCH$$. По теореме Пифагора:

$$ AC^2=CH^2+AH^2=h^2+\left(l^2-h^2\right)=l^2, $$
$$ BC^2=CH^2+BH^2=h^2+\left(l^2-h^2\right)=l^2. $$

Следовательно, $$AC=l$$ и $$BC=l$$, то есть из точки $$C$$ можно провести две наклонные длины $$l$$ к прямой $$a$$.

Кроме того, на каждой полупрямой от точки $$H$$ можно отложить только один отрезок данной длины, значит, таких наклонных не больше двух. Следовательно, они единственные.