Упр.6.21 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 21. В параллелограмме ABCD перпендикуляр, опущенный из вершины В на сторону AD, делит её пополам. Найдите диагональ BD и стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма равен 3,8 м, а периметр треугольника ABD равен 3 м.

Так как $$BH \perp AD$$ и $$AH = HD$$, то прямая $$BH$$ является одновременно высотой и медианой треугольника $$ABD$$. Значит, треугольник $$ABD$$ равнобедренный, и его боковые стороны равны:

$$AB = BD.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому

$$BC = AD,\quad CD = AB.$$

Периметр параллелограмма:

$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+DA=3{,}8\text{ м}.$$

Периметр треугольника $$ABD$$:

$$P_{ABD}=AB+BD+AD=3\text{ м}.$$

Обозначим $$AB=BD=x$$, а $$AD=y$$. Тогда

$$2x+y=3,$$

$$2x+2y=3{,}8.$$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$y=3{,}8-3=0{,}8\text{ м}.$$

Тогда

$$2x+0{,}8=3,$$

$$2x=2{,}2,$$

$$x=1{,}1\text{ м}.$$

Следовательно,

$$AB=BD=1{,}1\text{ м},\quad AD=BC=0{,}8\text{ м},\quad CD=1{,}1\text{ м}.$$

Ответ

$$BD=1{,}1\text{ м},\quad AB=CD=1{,}1\text{ м},\quad BC=AD=0{,}8\text{ м}.$$