Упр.8.20 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите точку, равноудалённую от осей координат и от точки $$(3; 6)$$.

Пусть $$B(x;y)$$ — искомая точка. Тогда расстояние от неё до осей координат одинаково, значит $$|x|=|y|.$$

Кроме того, расстояние от точки $$B$$ до точки $$A(3;6)$$ равно этому же расстоянию, поэтому

$$AB=|x|.$$

Так как точка должна быть равноудалена от обеих осей, рассмотрим случай $$x=y$$. Тогда

$$AB^2=(3-x)^2+(6-x)^2,$$

а по условию $$AB=x$$, значит

$$x^2=(3-x)^2+(6-x)^2.$$

Раскроем скобки:

$$x^2=9-6x+x^2+36-12x+x^2,$$

$$x^2-18x+45=0.$$

Найдём корни:

$$D=18^2-4\cdot 45=324-180=144,$$

$$x_{1,2}=\frac{18\pm 12}{2},$$

откуда $$x_1=3,$$ $$x_2=15.$$

Так как $$y=x,$$ получаем две точки:

$$B_1(3;3), \quad B_2(15;15).$$

Ответ: $$(3;3)$$ и $$(15;15)$$.