Упр.7.20 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что расстояние между любыми двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон.
Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, а $$X$$ и $$D$$ — любые точки, лежащие на его сторонах. Обозначим через $$AC$$ большую сторону треугольника.
Если точки $$X$$ и $$D$$ лежат на одной стороне, то расстояние между ними не превосходит длины этой стороны, а значит, не больше $$AC$$.
Рассмотрим теперь случай, когда $$X \in AB$$, а $$D \in CB$$. Тогда в треугольнике $$CXB$$ по неравенству треугольника
$$XD<XB+BD.$$
Но так как $$X$$ лежит на отрезке $$AB$$, то $$XB<AB$$, а поскольку $$AC$$ — наибольшая сторона треугольника $$ABC$$, имеем $$AB\le AC$$. Следовательно,
$$XB<AC.$$
Аналогично, если рассмотреть треугольник $$CXD$$, то получим, что расстояние $$XD$$ меньше суммы двух его сторон, каждая из которых не превосходит $$AC$$. Значит, и в этом случае
$$XD\le AC.$$
Итак, расстояние между любыми двумя точками, лежащими на сторонах треугольника, не больше большей из его сторон.
