Упр.14.20 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 20. Докажите, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам, т. е. а : b : с = 1/ha: 1/hb: 1/hc.

Площадь треугольника можно выразить через любую его сторону и соответствующую высоту:

$$S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}ch_c.$$

Отсюда

$$ah_a=bh_b=ch_c.$$

Тогда

$$\frac{a}{b}=\frac{h_b}{h_a}=\frac{1/h_a}{1/h_b},$$

$$\frac{b}{c}=\frac{h_c}{h_b}=\frac{1/h_b}{1/h_c}.$$

Следовательно, стороны треугольника пропорциональны величинам, обратным соответствующим высотам:

$$a:b:c=\frac{1}{h_a}:\frac{1}{h_b}:\frac{1}{h_c}.$$

Ответ

$$a:b:c=\frac{1}{h_a}:\frac{1}{h_b}:\frac{1}{h_c}.$$