Вопрос 20 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите теорему о пропорциональных отрезках: параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Пусть стороны угла с вершиной $$A$$ пересекаются параллельными прямыми в точках $$B,\,C$$ и $$B_1,\,C_1$$ соответственно. Докажем, что

$$\frac{AC_1}{AC}=\frac{AB_1}{AB}.$$

Предположим, что существует отрезок длины $$\delta$$, который укладывается целое число раз и на отрезке $$AC$$, и на отрезке $$AC_1$$. Тогда можно записать:

$$AC=n\delta,\qquad AC_1=m\delta,\qquad n>m.$$

Разобьём отрезок $$AC$$ на $$n$$ равных частей длины $$\delta$$, причём точка $$C_1$$ будет одной из точек деления. Через точки деления проведём прямые, параллельные прямой $$BC$$. По теореме Фалеса они разобьют отрезок $$AB$$ на равные части некоторой длины $$\delta_1$$. Тогда

$$AB=n\delta_1,\qquad AB_1=m\delta_1.$$

Следовательно,

$$\frac{AC_1}{AC}=\frac{m\delta}{n\delta}=\frac{m}{n},$$

$$\frac{AB_1}{AB}=\frac{m\delta_1}{n\delta_1}=\frac{m}{n}.$$

Значит,

$$\frac{AC_1}{AC}=\frac{AB_1}{AB},$$

что и требовалось доказать.