Упр.12.20 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: угол, прилежащий к основанию равнобедренного треугольника,
больше 60°;
Выяснить: что больше-основание или боковая сторона;
Решение:
1) Пусть треугольник ABC-равнобедренный, AC-основание и угол A > 60°;
2) По свойству равнобедренного треугольника:
угол C = углу A, значит угол C > 60°, тогда угол A+ угол C > 120°;
3) По теореме о сумме углов треугольника:
угол A+ угол B+ угол C=180°, отсюда угол B=180°-(угол A+ угол C), значит угол B < 60°; 4) Так как в любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то боковые стороны AB и BC больше, чем основание AC; Ответ: боковая сторона больше.

Подробный ответ

Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, $$AC$$ — основание, а $$\angle A>60^\circ$$. Тогда по свойству равнобедренного треугольника $$\angle C=\angle A$$, значит, $$\angle C>60^\circ$$.

Следовательно,

$$\angle A+\angle C>120^\circ.$$

По теореме о сумме углов треугольника:

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

откуда

$$\angle B=180^\circ-(\angle A+\angle C)<60^\circ.$$

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Значит, против углов $$\angle A$$ и $$\angle C$$ лежат боковые стороны $$BC$$ и $$AB$$, а против меньшего угла $$\angle B$$ лежит основание $$AC$$. Поэтому

$$AB>AC,\quad BC>AC.$$

Следовательно, боковая сторона больше основания.