Вопрос 20 Параграф 9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: если полупрямые a и b одинаково направлены и полупрямые
b и c одинаково направлены, то полупрямые a и c тоже одинаково
направлены;
Доказательство:
1) Пусть параллельный перенос, задаваемый формулами:
x’=x+m и y’=y+n (*)
переводит полупрямую a в полупрямую b, а параллельный перенос,
задаваемый формулами:
x»=x’+m1 и y»=y’+n1 (**)
переводит прямую b в полупрямую c;
2) Рассмотрим параллельный перенос, задаваемый формулами:
x»=x+m+m1 и y»=y+n+n1 (***);
докажем, что он переводит полупрямую a в полупрямую c;
3) Пусть (x; y)-произвольная точка полупрямой a;
4) Точка (x+m; y+n) принадлежит полупрямой b согласно
формулам (*);
5) Так как точка (x+m; y+n) принадлежит полупрямой b, то согласно
формулам (**) точка (x+m+m1; y+n+n1) принадлежит лучу c;
6) Таким образом, параллельный перенос, задаваемый формулами (***),
переводит полупрямую a в полупрямую c, следоваетльно полупрямые
a и c одинаково направлены, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть параллельный перенос, задаваемый формулами $$x’=x+m,\quad y’=y+n,$$ переводит полупрямую $$a$$ в полупрямую $$b.$$

Пусть параллельный перенос, задаваемый формулами $$x»=x’+m_1,\quad y»=y’+n_1,$$ переводит полупрямую $$b$$ в полупрямую $$c.$$

Рассмотрим параллельный перенос, задаваемый формулами

$$x»=x+m+m_1,\quad y»=y+n+n_1.$$

Докажем, что он переводит полупрямую $$a$$ в полупрямую $$c.$$

Пусть $$\left(x;y\right)$$ — произвольная точка полупрямой $$a.$$ Тогда по первому переносу точка $$\left(x+m;\,y+n\right)$$ принадлежит полупрямой $$b.$$

Так как эта точка принадлежит полупрямой $$b,$$ то по второму переносу точка

$$\left(x+m+m_1;\,y+n+n_1\right)$$

принадлежит полупрямой $$c.$$

Следовательно, составной параллельный перенос переводит полупрямую $$a$$ в полупрямую $$c,$$ а значит, полупрямые $$a$$ и $$c$$ одинаково направлены.