Упр.3.20 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что у равнобедренного треугольника:
1) биссектрисы, проведённые из вершин при основании, равны;
2) медианы, проведённые из тех же вершин, тоже равны.
Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник, у которого $$AC=BC$$.
1) Докажем, что биссектрисы, проведённые из вершин при основании, равны.
Пусть $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит $$\angle A=\angle B$$.
Так как $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы, то
$$\angle BAA_1=\frac12\angle A,\qquad \angle ABB_1=\frac12\angle B.$$
Следовательно, $$\angle BAA_1=\angle ABB_1$$. Кроме того, $$AB$$ — общая сторона треугольников $$ABA_1$$ и $$ABB_1$$, а также $$AC=BC$$ не требуется для этого пункта.
Значит, треугольники $$ABA_1$$ и $$ABB_1$$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому
$$AA_1=BB_1.$$
2) Докажем, что медианы, проведённые из вершин при основании, тоже равны.
Пусть $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — медианы, проведённые к сторонам $$BC$$ и $$AC$$ соответственно. Тогда
$$A_1B=\frac12\,BC,\qquad B_1A=\frac12\,AC.$$
Так как $$AC=BC$$, то
$$A_1B=B_1A.$$
Рассмотрим треугольники $$ABA_1$$ и $$BAB_1$$. У них
$$AB$$ — общая сторона, $$BA_1=B_1A$$, а также $$\angle BAA_1=\angle ABB_1$$, поскольку $$\angle A=\angle B$$ и медианы делят стороны пополам.
Следовательно, треугольники $$ABA_1$$ и $$BAB_1$$ равны, откуда
$$AA_1=BB_1.$$
Ответ: биссектрисы, проведённые из вершин при основании, равны; медианы, проведённые из этих же вершин, тоже равны.
