Упр.14.20 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам, т. е. $$a:b:c=\frac{1}{h_a}:\frac{1}{h_b}:\frac{1}{h_c}.$$

Площадь треугольника можно выразить через любую его сторону и соответствующую высоту:

$$S=\frac12 ah_a=\frac12 bh_b=\frac12 ch_c.$$

Отсюда

$$ah_a=bh_b=ch_c.$$

Тогда

$$\frac{a}{b}=\frac{h_b}{h_a}=\frac{1/h_a}{1/h_b},$$

$$\frac{b}{c}=\frac{h_c}{h_b}=\frac{1/h_b}{1/h_c}.$$

Следовательно, стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам:

$$a:b:c=\frac1{h_a}:\frac1{h_b}:\frac1{h_c}.$$