Вопрос 20 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
I) Отобразим условие задачи:
Доказать: если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке S, то
AS•BS=CS•DS;
Доказательство:
1) Вписанные в окружность углы DCB и DAB опираются на одну хорду DB,
значит по следствию из теоремы 11.5 эти углы равны;
2) Углы ASD и BSC равны как вертикальные;
3) Треугольники ASD и CSB подобны по двум углам, значит:
DS/BS=AS/CS, отсюда AS•BS=CS•DS, что и требовалось доказать.
II) Отобразим условие задачи:
Доказать: если из точки P к окружности проведены две секущие,
пересекающие окружность в точках A, B, C и D соответственно, то
AP•BP=CP•DP;
Доказательство:
1) Пусть точки A и C-ближайшие к точке P точки пересечения секущих
с окружностью;
2) Вписанные в окружность углы ABC и ADC опираются на одну хорду AC,
значит по следствию из теоремы 11.5 эти углы равны;
3) Треугольники PAD и PCB подобны по двум углам, значит:
PA/PC=PD/PB, отсюда PA•PB=PC•PD, что и требовалось доказать.
I) Пусть хорды $$AB$$ и $$CD$$ окружности пересекаются в точке $$S$$. Докажем, что
$$AS\cdot BS=CS\cdot DS.$$
Рассмотрим треугольники $$ASD$$ и $$CSB$$.
1) Вписанные углы $$DAB$$ и $$DCB$$ опираются на одну и ту же хорду $$DB$$, значит, они равны.
2) Углы $$ASD$$ и $$BSC$$ — вертикальные, следовательно, равны.
Значит, треугольники $$ASD$$ и $$CSB$$ подобны по двум углам. Тогда
$$\frac{DS}{BS}=\frac{AS}{CS}.$$
Перемножая, получаем
$$AS\cdot BS=CS\cdot DS.$$
II) Пусть из точки $$P$$ к окружности проведены две секущие, пересекающие её в точках $$A, B$$ и $$C, D$$ соответственно, причём точки $$A$$ и $$C$$ ближе к точке $$P$$. Докажем, что
$$AP\cdot BP=CP\cdot DP.$$
Рассмотрим треугольники $$PAD$$ и $$PCB$$.
1) Вписанные углы $$ABC$$ и $$ADC$$ опираются на одну хорду $$AC$$, значит, они равны.
2) Углы при точке $$P$$ в треугольниках $$PAD$$ и $$PCB$$ также равны как углы, образованные теми же секущими.
Следовательно, треугольники $$PAD$$ и $$PCB$$ подобны по двум углам. Тогда
$$\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB}.$$
Отсюда
$$PA\cdot PB=PC\cdot PD.$$
Что и требовалось доказать.
