Вопрос 20 Параграф 10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 20. Докажите, что если векторы а и b отличны от нулевого вектора и не коллинеарны, то любой вектор с можно представить в виде с = лямбда а + bc.

Подробный ответ

Пусть точки A и B — начало и конец вектора $$\vec c$$.

Проведём через точку A прямую, параллельную вектору $$\vec a$$, а через точку B — прямую, параллельную вектору $$\vec b$$. Так как векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны, эти прямые пересекутся в некоторой точке C.

Тогда

$$\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}.$$

Поскольку $$\vec{AC}$$ коллинеарен $$\vec a$$, существует число $$\lambda$$ такое, что

$$\vec{AC}=\lambda \vec a.$$

А так как $$\vec{CB}$$ коллинеарен $$\vec b$$, существует число $$\mu$$ такое, что

$$\vec{CB}=\mu \vec b.$$

Следовательно,

$$\vec c=\vec{AB}=\lambda \vec a+\mu \vec b.$$

Тем самым любой вектор $$\vec c$$ можно представить в виде линейной комбинации векторов $$\vec a$$ и $$\vec b$$.