Упр.9.20 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей
прямоугольника, параллельно его сторонам, являются его осями
симметрии;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-прямоугольник и O-точка пересечения диагоналей,
прямые MN и EF проходят через точку O параллельно сторонам ABCD,
значит эти прямые перпендикулярны двум другим сторонам и друг
другу;
2) Треугольники AOB и COD-равнобедренные (AO=OB=OC=OD),
а отрезки EO и OF их высоты, значит они являются и медианами, тогда:
AE=BE=CF=FD=1/2 AB;
3) Так как в параллелограммах BMEO и ANOE соседние стороны
перпендикулярны, то они являются прямоугольниками, тогда:
MO=BE=AE=ON;
4) Возьмем произвольную точку X на стороне BC, опустим из нее
перпендикуляр XO1 на прямую EF и отметим точку X’ на пересечении
этого перпендикуляра и стороны AD;
5) Так как в параллелограммах MXO1 O и NX’ O1 O соседние стороны
перпендикулярны, то они являются прямоугольниками, тогда:
XO1=MO=ON=O1 X’;
6) Таким образом, точки X и X’ симметричны относительно прямой EF,
а так как точка X произвольная точка отрезка BC, то отрезки BC и AD
симметричны относительно прямой EF;
7) Любая точка отрезка AB симметрична какой-нибудь другой точке
этого отрезка отсносительно EF, так как AB перпендикулярен EF, а расстояния от этих
точек до точки F меньше, чем расстояния от точек A или B до точки F;
8) Аналогично, любая точка отрезка CD симметрична какой-нибудь
другой точке этого отрезка отсносительно EF
9) Таким образом, прямая EF является осью симметрии ABCD, аналогично
доказывается и для прямой MN.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — прямоугольник, $$O$$ — точка пересечения его диагоналей. Проведём через точку $$O$$ прямые $$EF$$ и $$MN$$, параллельные сторонам прямоугольника.

Так как $$EF \parallel AB \parallel CD$$, то $$EF \perp BC$$ и $$EF \perp AD$$. Аналогично, $$MN \parallel BC \parallel AD$$, значит $$MN \perp AB$$ и $$MN \perp CD$$.

Рассмотрим прямую $$EF$$. Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому

$$AO=BO=CO=DO.$$

Следовательно, треугольники $$AOB$$ и $$COD$$ равнобедренные. Прямая $$EF$$, проходящая через вершину $$O$$ и перпендикулярная основаниям $$AB$$ и $$CD$$, является в этих треугольниках высотой, а значит и медианой. Поэтому

$$AE=BE,\qquad CF=FD.$$

Кроме того, в прямоугольниках $$ANOE$$ и $$BMEO$$ противоположные стороны равны, откуда

$$AE=ON,\qquad BE=MO.$$

Значит, точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно прямой $$EF$$, а также точки $$C$$ и $$D$$ симметричны относительно $$EF$$. Следовательно, стороны $$AB$$ и $$CD$$ переходят друг в друга при отражении относительно $$EF$$, а стороны $$BC$$ и $$AD$$ лежат по разные стороны от этой прямой на равных расстояниях.

Аналогично доказывается, что прямая $$MN$$ является осью симметрии прямоугольника: при отражении относительно $$MN$$ точки $$A$$ и $$D$$, $$B$$ и $$C$$ попарно меняются местами.

Итак, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются осями симметрии прямоугольника.