Вопрос 20 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите свойства отрезков пересекающихся хорд и свойства отрезков секущих.

1. Докажите: если хорды $$AB$$ и $$CD$$ окружности пересекаются в точке $$S$$, то $$AS\cdot BS=CS\cdot DS$$.
2. Докажите: если из точки $$P$$ к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$ соответственно, то $$AP\cdot BP=CP\cdot DP$$.

Рассмотрим оба утверждения.

I. Отрезки пересекающихся хорд

Пусть хорды $$AB$$ и $$CD$$ окружности пересекаются в точке $$S$$. Докажем, что

$$AS\cdot BS=CS\cdot DS.$$

Рассмотрим треугольники $$ASD$$ и $$CSB$$.

1. Вписанные углы $$\angle DCB$$ и $$\angle DAB$$ опираются на одну и ту же хорду $$DB$$, значит, они равны.
2. Углы $$\angle ASD$$ и $$\angle BSC$$ — вертикальные, поэтому они равны.

Следовательно, треугольники $$ASD$$ и $$CSB$$ подобны по двум углам. Тогда

$$\frac{DS}{BS}=\frac{AS}{CS}.$$

Перемножая пропорцию крест-накрест, получаем

$$AS\cdot BS=CS\cdot DS.$$

II. Отрезки секущих

Пусть из точки $$P$$ к окружности проведены две секущие, пересекающие её в точках $$A, B$$ и $$C, D$$ соответственно, причём точки $$A$$ и $$C$$ ближе к точке $$P$$. Докажем, что

$$AP\cdot BP=CP\cdot DP.$$

Рассмотрим треугольники $$PAD$$ и $$PCB$$.

1. Вписанные углы $$\angle ABC$$ и $$\angle ADC$$ опираются на одну хорду $$AC$$, значит, они равны.
2. Углы $$\angle PAD$$ и $$\angle PCB$$ являются внешними углами соответствующих треугольников и, следовательно, равны как углы, образованные секущими и хордой, опирающиеся на одну и ту же дугу.

Значит, треугольники $$PAD$$ и $$PCB$$ подобны. Тогда

$$\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB}.$$

Отсюда

$$PA\cdot PB=PC\cdot PD.$$

Что и требовалось доказать.