Упр.7.20 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: расстояние между двумя точками на сторонах треугольника
не больше большей из его сторон;
Доказательство:
1) Пусть ABC-данный треугольник, с большей стороной AC, а
точки X и D лежат на его сторонах;
2) Если точки X и D лежат на одной стороне, то доказываемое утверж-
дение очевидно, так как наибольшее расстояние между ними может
быть равно AC (если точки X и D совпадают с точками A и C);
3) Пусть точка X лежит на стороне AB, а точка D лежит на стороне CB;
4) Рассмотрим треугольник CXB:
По доказанному в задаче 7.19: (1) XD < XB или (2) XD < XC; 5) Так как точка X лежит на отрезке AB, то XB < AB, значит в случае (1) выполняется неравенство XD < AB; 6) Рассмотрим треугольник ABC: По доказанному в задаче 7.19: CX < AC или CX < CB, то есть в любом случае отрезок CX меньше наибольшей стороны треугольника; 7) Следовательно в случае (2) выполняется неравенство XD < AC; 8) Таким образом, расстояние между двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон, что и требовалось Доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, причём $$AC$$ — его наибольшая сторона. Возьмём две точки $$X$$ и $$D$$ на сторонах треугольника.

Если точки $$X$$ и $$D$$ лежат на одной стороне, то расстояние между ними не превосходит длины этой стороны, а значит, не больше $$AC$$.

Рассмотрим случай, когда $$X \in AB$$, а $$D \in CB$$. Тогда в треугольнике $$CXB$$ по неравенству треугольника имеем:

$$XD < XB + BD,$$

но удобнее воспользоваться результатом задачи 7.19: в треугольнике расстояние между двумя точками на его сторонах меньше одной из сторон, значит для треугольника $$CXB$$ получаем либо

$$XD < XB,$$

либо

$$XD < XC.$$

Так как $$X$$ лежит на отрезке $$AB$$, то

$$XB \le AB \le AC.$$

Следовательно, в первом случае

$$XD < AC.$$

Во втором случае точка $$X$$ лежит на стороне $$AB$$, поэтому в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$CX$$ не больше большей стороны треугольника, то есть

$$CX \le AC.$$

Значит, и здесь

$$XD < AC.$$

Итак, расстояние между любыми двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон.