Вопрос 20 Параграф 10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ отличны от нулевого вектора и не коллинеарны, то любой вектор $$\vec c$$ можно представить в виде $$\vec c=\lambda\vec a+\mu\vec b$$.

Пусть точки $$A$$ и $$B$$ — начало и конец вектора $$\vec c$$, то есть $$\vec c=\overrightarrow{AB}$$.

Проведём через точки $$A$$ и $$B$$ прямые, параллельные векторам $$\vec a$$ и $$\vec b$$ соответственно. Так как векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны, эти прямые пересекутся в некоторой точке $$C$$.

Тогда

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}.$$

Поскольку $$\overrightarrow{AC}$$ коллинеарен вектору $$\vec a$$, существует число $$\lambda$$ такое, что

$$\overrightarrow{AC}=\lambda \vec a.$$

А так как $$\overrightarrow{CB}$$ коллинеарен вектору $$\vec b$$, существует число $$\mu$$ такое, что

$$\overrightarrow{CB}=\mu \vec b.$$

Следовательно,

$$\vec c=\overrightarrow{AB}=\lambda \vec a+\mu \vec b.$$

Что и требовалось доказать.