Упр.9.20 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются его осями симметрии (рис. 210).
Пусть $$ABCD$$ — прямоугольник, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей. Проведём через точку $$O$$ прямые $$EF$$ и $$MN$$, параллельные сторонам прямоугольника.
Так как в прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, то
$$AO=BO=CO=DO.$$
Следовательно, треугольники $$AOB$$ и $$COD$$ равнобедренные. Прямые $$EF$$ и $$MN$$, проходящие через вершину $$O$$, являются в этих треугольниках высотами, а значит, и медианами. Поэтому
$$AE=BE=CF=FD=\frac12 AB.$$
Рассмотрим четырёхугольники $$ANOE$$ и $$BMEO$$. У них соседние стороны попарно перпендикулярны, значит, это прямоугольники. Тогда
$$MO=AE=BE=ON.$$
Теперь возьмём произвольную точку $$X$$ на стороне $$BC$$ и опустим из неё перпендикуляр $$XO_1$$ на прямую $$EF$$. Пусть $$X’$$ — точка пересечения этого перпендикуляра со стороной $$AD$$.
Четырёхугольники $$MXO_1O$$ и $$NX’O_1O$$ также являются прямоугольниками, поэтому
$$XO_1=MO=ON=O_1X’.$$
Значит, точки $$X$$ и $$X’$$ симметричны относительно прямой $$EF$$. Так как точка $$X$$ была произвольной, то отрезки $$BC$$ и $$AD$$ симметричны относительно $$EF$$.
Аналогично, стороны $$AB$$ и $$CD$$ также симметричны относительно $$EF$$. Следовательно, прямая $$EF$$ является осью симметрии прямоугольника $$ABCD$$.
Точно так же доказывается, что прямая $$MN$$ тоже является осью симметрии прямоугольника.
Ответ: прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника и параллельные его сторонам, являются осями симметрии.
