Упр.3.2 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Через середину $$O$$ отрезка $$AB$$ проведена прямая, перпендикулярная прямой $$AB$$ (рис. 57). Докажите, что каждая точка $$X$$ этой прямой одинаково удалена от точек $$A$$ и $$B$$.

Пусть $$X$$ — произвольная точка данной прямой. Тогда $$XO \perp AB$$, а значит

$$\angle AOX=\angle BOX=90^\circ.$$

Так как $$O$$ — середина отрезка $$AB$$, то $$AO=OB.$$ Кроме того, $$XO$$ — общая сторона треугольников $$AXO$$ и $$BXO.$$

Следовательно, треугольники $$AXO$$ и $$BXO$$ равны по двум сторонам и углу между ними:

$$AO=OB,\quad XO=XO,\quad \angle AOX=\angle BOX.$$

Из равенства треугольников получаем:

$$XA=XB.$$

Значит, каждая точка данной прямой одинаково удалена от точек $$A$$ и $$B$$, что и требовалось доказать.