Вопрос 2 Параграф 9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки,
лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения;
Доказательство:
1) Пусть точки A, B и C лежат на одной прямой, при этом точка B лежит
между точками A и C, тогда: AC=AB+BC;
2) Точки A1, B1 и C1, получены движением этой прямой, значит:
A1 B1=AB, B1 C1=BC и A1 C1=AC, отсюда A1 C1=A1 B1+B1 C1;
3) Допустим, что точки A1, B1 и C1 не лежат на одной прямой, тогда они
являются вершинами треугольника, отсюда: A1 C1 < A1 B1+B1 C1; 4) Но это противоречит второму пункту, значит наше предположение неверно и точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой, а из равенства A1 C1=A1 B1+B1 C1 следует, что точка B1 лежит между точками A1 и C1, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой, причём точка $$B$$ лежит между точками $$A$$ и $$C$$. Тогда

$$AC=AB+BC.$$

При движении расстояния сохраняются, значит для образов этих точек имеем

$$A_1B_1=AB,\quad B_1C_1=BC,\quad A_1C_1=AC.$$

Следовательно,

$$A_1C_1=A_1B_1+B_1C_1.$$

Предположим, что точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ не лежат на одной прямой. Тогда они являются вершинами треугольника, а значит, по неравенству треугольника

$$A_1C_1<A_1B_1+B_1C_1.$$

Это противоречит полученному равенству $$A_1C_1=A_1B_1+B_1C_1$$. Значит, точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ лежат на одной прямой.

Кроме того, из равенства $$A_1C_1=A_1B_1+B_1C_1$$ следует, что точка $$B_1$$ лежит между точками $$A_1$$ и $$C_1$$. Следовательно, порядок взаимного расположения точек сохраняется.