Вопрос 2 Параграф 3 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Сформулируйте и докажите второй признак равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольников: если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Пусть в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ выполнено:

$$AB=A_1B_1,\quad \angle A=\angle A_1,\quad \angle B=\angle B_1.$$

Докажем, что $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$.

Построим треугольник $$A_1B_2C_2$$, равный треугольнику $$ABC$$, так, чтобы вершина $$B_2$$ лежала на луче $$A_1B_1$$, а вершина $$C_2$$ — в той же полуплоскости относительно прямой $$A_1B_1$$, что и точка $$C_1$$.

Так как $$A_1B_2=A_1B_1$$, то точка $$B_2$$ совпадает с точкой $$B_1$$.

Кроме того, из равенства треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_2C_2$$ получаем:

$$\angle B_1A_1C_2=\angle B_1A_1C_1,\quad \angle A_1B_1C_2=\angle A_1B_1C_1.$$

Следовательно, луч $$A_1C_2$$ совпадает с лучом $$A_1C_1$$, а луч $$B_1C_2$$ — с лучом $$B_1C_1$$. Значит, точка $$C_2$$ совпадает с точкой $$C_1$$.

Итак, треугольник $$A_1B_1C_1$$ совпадает с треугольником $$A_1B_2C_2$$, а значит, он равен треугольнику $$ABC$$.