Вопрос 2 Параграф 3 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
I) Второй признак равенства треугольников:
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соот-
ветственно равны стороне и прилежащим у ней углам другого тре-
угольника, то такие треугольники равны;
II) Отобразим условие задачи:
Доказательство:
1) Пусть ABC и A1 B1 C1-два треугольника, у которых AB=A1 B1,
угол A = углу A1 и угол B = углу B1, докажем, что эти треугольники равны;
2) Пусть A1 B2 C2-треугольник, равный треугольнику ABC, с вершиной
B2 на луче A1 B1 и вершиной C2 в той же полуплоскости относительно
прямой A1 B1, где лежит вершина C1;
3) Так как A1 B2=A1 B1, то вершина B2 совпадает с вершиной B1.
4) Так как угол B1 A1 C2 = углу B1 A1 C1 и угол A1 B1 C2 = углу A1 B1 C1, то луч A1 C2
совпадает с лучом A1 C1, а луч B1 C2 совпадает с лучом B1 C1, отсюда
следует, что вершина C2 совпадает с вершиной C1;
5) Итак треугольник A1 B1 C1 совпадает с треугольником A1 B2 C2, а
значит, он равен треугольнику ABC, что и требовалось доказать.
Второй признак равенства треугольников: если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Докажем это.
Пусть в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ выполнено:
$$AB=A_1B_1,\quad \angle A=\angle A_1,\quad \angle B=\angle B_1.$$
Построим треугольник $$A_1B_2C_2$$, равный треугольнику $$ABC$$, так, чтобы вершина $$B_2$$ лежала на луче $$A_1B_1$$, а вершина $$C_2$$ — в той же полуплоскости относительно прямой $$A_1B_1$$, что и точка $$C_1$$.
Так как $$A_1B_2=A_1B_1$$, то точка $$B_2$$ совпадает с точкой $$B_1$$.
Кроме того, из равенства углов получаем:
$$\angle B_1A_1C_2=\angle B_1A_1C_1,\quad \angle A_1B_1C_2=\angle A_1B_1C_1.$$
Следовательно, луч $$A_1C_2$$ совпадает с лучом $$A_1C_1$$, а луч $$B_1C_2$$ совпадает с лучом $$B_1C_1$$. Значит, точка $$C_2$$ совпадает с точкой $$C_1$$.
Итак, треугольник $$A_1B_1C_1$$ совпадает с треугольником $$A_1B_2C_2$$, а значит, он равен треугольнику $$ABC$$.
Ответ
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
