Вопрос 2 Параграф 14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон.

Пусть $$ABCD$$ и $$AB_1C_1D$$ — два прямоугольника с общим основанием $$AD$$, а их площади равны соответственно $$S$$ и $$S_1$$. Докажем, что

$$\frac{S}{S_1}=\frac{AB}{AB_1}.$$

Разобьём отрезок $$AB$$ на большое число $$n$$ равных частей. Тогда длина каждой части равна $$\frac{AB}{n}$$.

Пусть $$m$$ — число точек деления, которые лежат на отрезке $$AB_1$$. Тогда

$$\frac{AB}{n}\cdot m<AB_1<\frac{AB}{n}\cdot (m+1).$$

Разделив на $$AB$$, получим

$$\frac{m}{n}<\frac{AB_1}{AB}<\frac{m}{n}+\frac{1}{n} \qquad (*)$$

Проведём через точки деления прямые, параллельные основанию $$AD$$. Они разобьют прямоугольник $$ABCD$$ на $$n$$ равных прямоугольников, каждый из которых имеет площадь $$\frac{S}{n}$$.

Прямоугольник $$AB_1C_1D$$ содержит первые $$m$$ таких прямоугольников и содержится в $$m+1$$ прямоугольниках, поэтому

$$\frac{S}{n}\cdot m<S_1<\frac{S}{n}\cdot (m+1).$$

Отсюда

$$\frac{m}{n}<\frac{S_1}{S}<\frac{m}{n}+\frac{1}{n} \qquad (**).$$

Из неравенств $$(*)$$ и $$(**)$$ следует, что числа $$\frac{AB_1}{AB}$$ и $$\frac{S_1}{S}$$ заключены между одними и теми же числами $$\frac{m}{n}$$ и $$\frac{m}{n}+\frac{1}{n}$$. Значит, при сколь угодно большом $$n$$ они могут отличаться лишь на сколь угодно малую величину, то есть

$$\frac{AB_1}{AB}=\frac{S_1}{S}.$$

Теперь возьмём прямоугольник со сторонами $$1$$ и $$a$$ и обозначим его площадь через $$S’$$. Тогда по доказанному

$$\frac{S’}{1}=\frac{a}{1},$$

то есть $$S’=a$$.

Для прямоугольника со сторонами $$a$$ и $$b$$ и площадью $$S$$ имеем

$$\frac{S}{S’}=\frac{b}{1},$$

откуда

$$S=S’\cdot b=a\cdot b=ab.$$

Следовательно, площадь прямоугольника равна произведению его сторон.