Упр.13.2 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Решите задачу 1 при условии, что $$d
Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры окружностей радиусов $$R_1$$ и $$R_2$$ соответственно, причём $$O_1O_2=d$$.
Так как $$d<R_1-R_2$$, то окружность с центром $$O_2$$ целиком лежит внутри окружности с центром $$O_1$$, и окружности не пересекаются.
Для любых точек $$X$$ и $$Y$$ этих окружностей имеем:
$$XO_1=R_1,\qquad YO_2=R_2.$$
Рассмотрим ломаную $$XO_1O_2Y$$. По неравенству треугольника
$$XY\le XO_1+O_1O_2+O_2Y=R_1+d+R_2.$$
Значит, наибольшее расстояние между точками $$X$$ и $$Y$$ равно $$R_1+R_2+d$$.
Теперь рассмотрим ломаную $$XO_2O_1Y$$. Тогда
$$XO_1\le XY+YO_2+O_2O_1,$$
откуда
$$R_1\le XY+R_2+d,$$
следовательно,
$$XY\ge R_1-R_2-d.$$
Значит, наименьшее расстояние между точками $$X$$ и $$Y$$ равно $$R_1-R_2-d$$.
Ответ: $$R_1+R_2+d$$; $$R_1-R_2-d$$.
